Математическое ожидание дискретной случайной величины заданной законом распределения вероятностей

Математическое ожидание и дисперсия непрерывной случайной величины Математическое ожидание и дисперсия - чаще всего применяемые числовые характеристики случайной величины. Они характеризуют самые важные черты распределения: его положение и степень разбросанности. Во многих задачах практики полная, исчерпывающая характеристика случайной величины - закон распределения - или вообще не может быть получена, или вообще не нужна. В этих случаях ограничиваются приблизительным описанием случайной величины с помощью числовых характеристик. Математическое ожидание часто называют просто средним значением случайной величины. Дисперсия случайной величины - характеристика рассеивания, разбросанности случайной величины около её математического ожидания.

Дорогие читатели! Наши статьи рассказывают о типовых способах решения юридических вопросов, но каждый случай носит уникальный характер.

Если вы хотите узнать, как решить именно Вашу проблему - обращайтесь в форму онлайн-консультанта справа или звоните по телефонам, представленным на сайте. Это быстро и бесплатно!

Содержание:

Приведем решения распространенных на практике задач. Пример 1.

Циолковского и включает два раздела: 1. Теория вероятностей 1. Случайные события, 1.

Математическое ожидание и дисперсия случайной величины

Приведем решения распространенных на практике задач. Пример 1. Закон распределения дискретной случайной величины задан таблично: Вычислить математическое ожидание. Согласно приведенной выше формулы, вычисляем Таким образом, найдено математическое ожидание равное 0,5. По заданной функцией плотности вероятностей вычислить математическое ожидание. Согласно формулы для непрерывной случайной величины проводим интегрирование Найдем интегралы по очереди, для первого выполним замену переменных Пример 3.

Плотность вероятностей задано тригонометрической формулой Найти математическое ожидание. Проводим интегрирования по частям Найдено математическое ожидание равно Пример 4. По заданной функцией распределения вероятностей вычислить математическое ожидание.

Для этого осуществляем дифференцирования функции распределения После этого проводим интегрирование по уже формуле: Для проверки правильности вычислений запомните, что если случайная величина принадлежит промежутку , то математическое ожидание также должно находиться внутри , выполняя роль центра распределения этой величины.

В случаях когда найдено математическое ожидание выходит за пределы промежутка нужно проанализировать предварительные вычисления и исправить ошибки. Будьте внимательны при интегрировании функций и замене переменных, именно в этом скрыта львиная доля Ваших ошибок.

Теория вероятностей и математическая статистика: Учебное пособие

Математическое ожидание постоянной величины равно самой постоянной. Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания. Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий. Это свойство справедливо для произвольного числа случайных величин. Математическое ожидание суммы двух случайных величин равно сумме математических ожиданий слагаемых. Это свойство также справедливо для произвольного числа случайных величин. Пусть производится n независимых испытаний, вероятность появления события А в которых равна р. Математическое ожидание М Х числа появления события А в n независимых испытаниях равно произведению числа испытаний на вероятность появления события в каждом испытании. Решение: 9. Кроме математического ожидания надо ввести величину, которая характеризует отклонение значений случайной величины от математического ожидания.

Математика и информатика. Учебное пособие по всему курсу

Решение начнём с графика функции распределения. Данная функция изменяется в пределах и не убывает т. Очевидно, что случайная величина принимает случайные значения из отрезка , и какие из них более вероятны, а какие — менее, наглядно показывает функция ПЛОТНОСТИ распределения вероятностей : И снова опорные точки: с немедленным чертёжом: В отличие от функции плотности может быть разрывна и может принимать значения бОльшие единицы как в нашем случае ; может, как убывать , так и возрастать и даже иметь экстремумы наш кусок параболы растёт. В силу аддитивности интеграла: — данный результат равен заштрихованной площади и с вероятностной точки зрения означает тот факт, что случайная величина достоверно примет одно из значений отрезка. Причём, по чертежу хорошо видно, что значения из правой части отрезка гораздо более вероятны, чем значения слева.

Математическое ожидание. Вычисление

Но так как при большом числе испытаний N относительная частота стремится к вероятности появления значения , то При довольно естественных предположениях получается Замечание 1. Если бы мы рассмотрели схему урн с N шарами, где шаров с числовой отметкой шаров с числом и т. Пример 1. Определить математическое ожидание случайной величины числа попаданий при трех выстрелах, если вероятность попадания при каждом выстреле Решение.

Математика. Теория вероятностей: Учебно-методическое пособие для вузов

Прямой метод Прямой метод генерации псевдослучайных чисел основан на определении самой случайной величины. Следовательно, в качестве псевдослучайного числа будет выступать число благоприятных исходов в серии испытаний k. Следовательно, независимо от исходного распределения достаточно просуммировать несколько независимых случайных величин с одинаковыми параметрами, чтобы получить нормально распределенное псевдослучайное число с математическим ожиданием Mx и средним квадратическим отклонением.

Математическое ожидание дискретной случайной величины

Иногда встречаются распределения, обладающие посередине не максимумом, а минимумом. Антимодальное распределение В общем случае мода и математическое ожидание случайной величины не совпадают. В частном случае, когда распределение является симметричным и модальным то есть имеет моду и существует математическое ожидание, то оно совпадает с модой и центром симметрии распределения. Часто применяется еще одна характеристика положения — так называемая медиана случайной величины. Этой характеристикой пользуются обычно только для непрерывных случайных величин, хотя формально можно её определить и для прерывной величины.

Математическое ожидание случайной величины. Пример решения

Дисперсия дискретной случайной величины. Среднее квадратическое отклонение Итак, продолжаем. В предыдущей статье мы выяснили, насколько полезно знать математическое ожидание , однако только этой характеристики ещё не достаточно для исследования случайной величины. Представим двух стрелков, которые стреляют по мишени. Один стреляет метко и попадает близко к центру, а другой… просто развлекается и даже не целится. Но что забавно, его средний результат будет точно таким же, как и у первого стрелка! Ну а рассеяние с латыни переводится не иначе, как дисперсия. Посмотрим, как определяется эта числовая характеристика на одном из примеров 1-й части урока: Там мы нашли неутешительное математическое ожидание этой игры, и сейчас нам предстоит вычислить её дисперсию, которая обозначается через. Чтобы обойти эту неприятность можно рассмотреть модули разностей, но по техническим причинам прижился подход, когда их возводят в квадрат.

Математическое ожидание дискретной случайной величины

Случайные величины Однако во многих задачах оказывается трудно или даже невозможно полностью описать функцию распределения вероятностей. В то же время для решения многих задач достаточно знать лишь некоторые параметры, характеризующие случайную величину с той или иной точки зрения.

Голосов: 2 Учебно-методическое пособие подготовлено на кафедре уравнений в частных производных и теории вероятностей математического факультета Воронежского государственного университета. Рекомендуется для студентов 2 курса дневной формы обучения геологического факультета для специальности: - "Геофизика". Рассматриваются основные понятия теории вероятности, приводятся примеры задач и их решения, даются контрольные задания. Приведенный ниже текст получен путем автоматического извлечения из оригинального PDF-документа и предназначен для предварительного просмотра. Изображения картинки, формулы, графики отсутствуют. Пример 1. Заданы n одинаково распределённых случайных величин х1, х2, Пример 2.

Задача 2. Найти математическое ожидание случайной величины Z, если известны математические ожидания Х и Y: Вариант 1. Вариант 2. Изучение нового материала, формирование знаний, умений и навыков Пример. Пусть в течение суток отмечали через каждый час температуру воздуха в городе. Для полученных данных полезно не только вычислить среднесуточную температуру, но и колебание температуры в течение этих суток — размах. Размахом случайных величин называется разность между наибольшим и наименьшим из этих чисел. Иногда может заинтересовать наиболее часто встречающееся число — мода.

Полезное видео: Дискретная случайная величина. Функция распределения
Комментарии 0
Спасибо! Ваш комментарий появится после проверки.
Добавить комментарий

  1. Пока нет комментариев.